Esok Pasti Lebih Cerah dengan Matematika

Program Operasi Hitung Bilangan Bulat


Cara Mudah Mengitung Operasi Bilangan Bulat tanpa menggunakan Kalkulator.

Ini Solusinya< anda berminat silahkan download Operasi Hitung Bilangan Bulat

 

operasi bilangan bulat

Iklan

Program Menghitung Keliling dan Luas Persegi


Ingin cara mudah menghitung keliling dan luas persegi ??

Ini solusinya silahkan download di Program Menghitung Keliling dan Luas Persegi

luas dan kll persegi

LOGIKA MATEMATIKA


  1. 1.    Pernyataan atau kalimat

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

  • Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu :

Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.

Contoh :

a) 6 x 5 = 30 (pernyataan tertutup yang benar)

b) 6 + 5 = 30 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.

Contoh :

a : Ada bunga yang berwarna merah

b : permen rasanya manis

  1. 2.    Ingkaran Pernyataan atau negasi

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa …” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.

Contoh :

Misalkan pernyataan p : Rokok yang mengandung nikotin.

Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa rokok mengandung nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran

p

~ p

B

S

S

B

  1. 3.    Pernyataan Majemuk

a. Konjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi.

Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan “ p ˄ q “

p

q

p  ˄ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

b. Disjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi.

Disjungsi p atau q dilambangkan dengan “ p ˅ q “

p

q

p ˅ q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

c. Implikasi

Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan “ p → q “

p

q

p → q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

d. Biimplikasi

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “ p ↔ q “

p

q

p ↔ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

  1. 4.    Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk
  • ~ (p ˄ q) ≡ ~ p ˅~ q
  • ~ (p ˅ q) ≡ ~ p ˄ ~ q
  • p ˄ ( q ˅ r )= (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
  • p ˅ ( q ˄ r ) ≡ (p ˄ q) ˄  (p ˄ r)
  • p → q = p ˅~ q
  • ~ (p → q) ≡ p ˄ ~ q
  • p ↔ q ≡ (p → q) ˄ (q → p)

= (~ p ˅ q) ˄ (~ q ˅ p)

  • ~ p ↔ q ≡ (p ˄~ q) ˅ (q ˄ ~ p)
  1. 5.    Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Jika diketahui implikasi p → q , maka :

  • Konversnya adalah q → p
  • Inversnya adalah ~ p → ~ q
  • Kontraposisinya adalah ~ q → ~ p
  1. 6.    Pernyataan berkuantor dan ingkarannya
  • Pernyataan Berkuator dan Ingkarannya

Pernyataan berkuator itandai dengan kata “ ada “ yang dilambangkan dengan “  “ dan kata “ semua “ atau “ untuk setiap “ yang dilambangkan dengan “  “.

Contoh:

Ingkaran dari pernyataan “ semua jalan kota ramai “ adalah “ tidak semua jalan kota ramai “

  • Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah diantaranya adalah :

i.            Penarikan kesimpulan modus ponen yaitu :

Pernyataan 1 : p → q (benar)

Pernyataan 2 : p (benar)

Kesimpulan  : q (benar)

ii.            Penarikan kesimpulan modus tollens yaitu :

Pernyataan 1 : p → q (benar)

Pernyataan 2 : ~ q (benar)

Kesimpulan  : ~ p (benar)

iii.            Penarikan kesimpulan silogisme yaitu :

Pernyataan 1 : p → q (benar)

Pernyataan 2 :  q → r (benar)

Kesimpulan  : p → r (benar)

Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat


  1. Sifat Kumutatif Penjumlahan

a + b     =  b + a

Contoh:

(-16) + 9          =  9 + (-16)

-7                     =   -7

  1. Sifat Komutatif Perkalian

a x b  =  b x a

Contoh:

-8 x 6   =  6 x (-8)

-48        =  – 48

  1. Sifat Asosiatif Penjumlahan

(a + b) + c    =   a + (b+c)

Contoh:

(6+15)  + 5      =  6 + (15+5)

21 + 5              =  6 + 20

26                    =   26

  1. Sifat Asosiatif Perkalian

(axb) x c   =  a x (bx c)

 

Contoh:

(4×5) x 3          =   4 x (5×3)

20 x 3              =  4  x 15

60                    =   60

  1. Sifat Distributif
  • Perkalian terhadap penjumlahan

a x (b + c) =  (a x b) + (a x c)

Contoh:

4 x (5+2)         = (4 x 5) +  (4 x 2)

4  x 7               =   20 + 8

28                    =    28

  • Perkalian terhadap pengurangan

a x (b – c) =  (a x b) – (a x c)

Contoh:

8 x (6-3)          =  (8 x 6) – (8 x 3)

8 x 3                =    48  – 24

24                    =    24

Angka Romawi


Angka Romawi atau Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari Romawi kuno. Sistem penomoran ini memakai huruf Latin untuk melambangkan angka numerik:

Simbol

Hasil

I

1 (satu) (unus)

V

5 (lima) (quinque)

X

10 (sepuluh) (decem)

L

50 (lima puluh) (quinquaginta)

C

100 (seratus) (centum)

D

500 (lima ratus) (quingenti)

M

1.000 (seribu) (mille)

Untuk angka yang lebih besar (≥5.000), sebuah garis ditempatkan di atas simbol indikator perkalian dengan 1.000. Baca lebih lanjut

BILANGAN PECAHAN


Jenis-jenis Bilangan Pecahan

  1. Pecahan biasa adalah pecahan yang dinyatakan dengan pembilang per penyebut

Capture

  1. Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan biasa.

Capture 1

  1. Pecahan Desimal adalah bilangan yang di dapat dengan cara membagi suatu bilangan lain dengan angka 10 dan kelipatannya.

Contohnya :

Capture 2

Persen adalah pecahan yang nilainya perseratus biasanya dilambangkan dengan %.

Contohnya :

Capture 4

Capture 3

FUNGSI EKSPONEN


Sifat-sifat

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan.

f30707beb66bcd25f1af01652ccef74e

Fungsi yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena

2f72b641f0b37e582d2a5e2cb5705410

Fungsi eksponensial dapat “menterjemahkan” antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:

d1e1fdc7e280c8ca34df009c77eae36a

a4191844b880b634839ffc3327a63f88

5b255e421d8eca30574b71afdfd05c8a

e5a702e6ca7ab15d11f44cd481260300

792be9fa181496f1a6aa7506c61f6c56

Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

3be9934baa8e72cac3788944e9b1c34c

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

6ccd47716ad71f8a4fde5b222b912647

Turunan dan persamaan diferensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

aa60402dc9a5ae6d23410d4e426d333d

Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat “ketidakmempanan untuk diturunkan” ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

  • Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
  • Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
  • Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y’ = y

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):

ed29eb8c63c80ca079c79e532f0d8e15

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal

Fungsi eksponensial ex dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

0bc08045195dc823c22d1fa283cb0759

atau sebagai limit berikut ini:

c3de98e36240aff2703b7045be5b20c4

Dalam definisi di atas, adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

5bf58fd84e151074e1a322f23fa6aea5

654bea1e997f8f1feab28384c766f152

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.