FUNGSI EKSPONEN

Sifat-sifat

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan.

Fungsi yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena

Fungsi eksponensial dapat “menterjemahkan” antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:

Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

Turunan dan persamaan diferensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

Dengan kata lain, fungsi e^x jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat “ketidakmempanan untuk diturunkan” ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

• Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
• Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
• Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y’ = y

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal

Fungsi eksponensial e^x dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

atau sebagai limit berikut ini:

Dalam definisi di atas, adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

Posted by arixwidari inci SMP